Dense Matrix Eigen System

稠密矩阵特征值和特征向量的计算

稠密矩阵特征值计算一般分为两个步骤：

1. 将矩阵A转化为Hessenberg矩阵H，A = Q'HQ，对于稠密矩阵，他的Hessenberg阵是三对角阵。
2. 对Hessenberg阵H运用QR方法，求出H的特征值，H的特征值就是A的特征值。
3. 用逆迭代的算法，对于一个给定的特征值，计算它对应的特征向量。
   

1.将矩阵A转化为Hessenberg矩阵H
这一步是整个算法最耗时的部分，一般来说有3种算法可以将A转化为Hessenberg矩阵。

1. HouseHolder变换
2. Givens变换
3. Lanczos方法，这一方法主要针对大型稀疏矩阵

2.对Hessenberg阵H运用QR方法，求出H的特征值
这一步一般就是用经典的QR方法，主要Hessenberg阵在QR的迭代中保持Hessenberg阵的形式

3.用逆迭代的算法，对于一个给定的特征值，计算它对应的特征向量
对于一个给定的特征值t:

1. (A - tI) y = b, b是一个随机矩阵，解这个方程得出y
2. b = y / |y|，t = t + 1/(b * y)
3. 最终b收敛与特征向量，t收敛与特征值